图4

不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).

函数 y=cosx-1 定义域 R 值域 ［-2,0］ 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;

当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的 最大值与最小值 当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;

当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2 点评:"五点法"是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉"五点法".如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.

例2 利用三角函数的单调性,比较cos(-)与cos(-)的大小.

活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.

解:cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos()=cos.因为0＜＜＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos＞cos,即cos(-)＜cos(-).

点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos＞0,cos＜0,显然大小立判.

例3 求函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.

活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把x-看成z,问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法.

解:令z=x-.函数y=cosz的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］.