§3.2　立体几何中的向量方法 (一)

　　--　平行与垂直关系的向量证法

知识点一　求平面的法向量

　　　已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．

　　解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，

　　＝(1，－2，－4)，\s\up6(→(→)＝(1，－2，－4)，

　　设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．

　　依题意，应有n·= 0， n·\s\up6(→(→) = 0.

　　即，解得.令y＝1，则x＝2.

　　∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．

　　【反思感悟】　用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．

　　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.

　　证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面A1D1F的法向量．

　　证明　

　　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0)，E，