∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.

∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，

y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，

令y′＝0，解得x＝2±，

∵0

∵当00，函数单调递增；

当2－

∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值为.

命题角度2　立体几何中的最值问题

例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

考点　几何类型的优化问题

题点　几何体体积的最值问题

解　(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，

高为(30－x)cm,0＜x＜30，

所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)

＝8x(30－x)≤8×2＝1 800，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，