由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).

∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).

(3)由(2)可知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增.

且当x＝1和x＝3时，f′(x)＝0.

∴f(x)的极大值为f(1)＝6ln 1＋1－8＋b＝b－7，

f(x)的极小值为f(3)＝6ln 3＋9－24＋b＝6ln 3＋b－15.

∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0，

∴要使f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需

∴b的取值范围是7＜b＜15－6ln 3.

反思与感悟　解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用.

跟踪训练2　设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4，若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围.

解　因为a＞0，所以"f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点"等价于"f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立".

由f′(x)－9x＝0(即ax2＋(2b－9)x＋c＝0)的两实数根分别为1,4，可得故2b＝9－5a，c＝4a.

所以对于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9).不等式ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于解得1≤a≤9.易验证a＝1与a＝9均满足题意，故a的取值范围是[1,9].

题型三　函数极值的综合应用

例3　已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)，若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.