且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

解析　由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a.

又∵|PF1|＝4|PF2|，

∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，

在△PF1F2中，应有：|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，

在双曲线中存在|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，

∴|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|.

即a≥2c，∴e≤，

又e>1，∴离心率e的取值范围是.

答案　

4．求最值

例5　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________．

解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义

知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.

答案　

例6　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|＋|PF|的最小值．

解　设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′(－2,0)，

由双曲线的定义知：|PF′|－|PF|＝2a＝2，

所以|PF|＝|PF′|－2，

所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2，

要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，