第一章导数及其应用 1.1变化率与导数2

------------ 学 案

一、学习目标

(1) 从位移的变化、速度的变化等具体现象到本节研究函数的改变量、变化率，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，为学习导数概念打下坚实的基础；

（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；

（3）掌握函数在处的导数及求导数的方法；

二、自主学习

1． 瞬时变化率

设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为

，如果当趋近于0时，平均变化率=趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数的瞬时变化率．

2．导数与导函数

一般地，设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为；如果当趋近于零时，平均变化率趋近于一个常数，则常数称为函数在点处的变化率，而函数在点处的瞬时变化率则称为在

处的导数，又称函数在该点处可导，记作，即==．

如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．在区间内，则构成一个新的函数，我们则把这个函数称为函数的导函数，简称为导数．

3．函数在处的导数及求导数的方法

（1）函数在处的导数==．

（2）对于导数的概念要抓住以下三个层次：设函数在区间上有定义，，

①函数的变化（增量）：对函数，自变量的增量=，相应的函数的增量是；②计算比值（增量之比）；；