展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,...时,如下表所示:

.............................................1 1

..........................................1 2 1

.......................................1 3 3 1

....................................1 4 6 4 1

.................................1 5 10 10 5 1

..............................1 6 15 20 15 6 1

...... ...... ......

上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。

用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，则这种取法种数为，即为的系数．

2.的展开式中各项的二项式系数、、...具有如下性质：

①对称性：二项展开式中，与首末两端"等距离"的两项的二项式系数相等，即；

②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.

③各二项式系数之和为，即；

④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

即。

要点诠释：

二项式系数与展开式的系数的区别

二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。

如(a－b)n的二项展开式的通项是，在这里对应项的二项式系数都是，但项的系数是，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

3.展开式中的系数求法（的整数且）

如：展开式中含的系数为

要点诠释：

　　三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。

要点四：二项式定理的应用

1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.

2.利用赋值法进行求有关系数和。