≤3×1+2×4+5=16.

(1)当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;

(2)当ab<0时,则a(-b)>0,

|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.

总之,恒有|a|+|b|≤16.

而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.

因此|a|+|b|的最大值为16.

(2)若f(x)=x2-2x+c,|x1-x2|<2,|x2|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<12.

证明:|f(x1)-f(x2)|

=|x12-2x1+c-x22+2x2-c|

=|(x1-x2)(x1+x2-2)|

=|x1-x2|·|x1+x2-2|

<2|x1+x2-2|=2|(x1-x2)+(2x2-2)|

≤2(|x1-x2|+|2x2-2|)

<4+2|2x2-2|≤4+2(|2x2|+|-2|)

<4+4+4=12.

∴|f(x1)-f(x2)|<12.

类题演练2

已知|a|<1,|b|<1,求证:||<1.

证明:由|a|<1,|b|<1,得1±a>0,1±b>0,则||=

=1,从而||<1.

变式提升2

证明对于任意实数t,复数z=+i的模r,适合不等式r≤.

证明:r=,为证对于任意实数t有r≤,

只要证|cost|+|sint|≤即可.

(1)当kπ≤t≤kπ+(k∈Z)时,则sint·cost≥0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=|sin(t+)|≤

(2)当kπ+0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|≤.

总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|≤成立,即有r≤成立.

三、绝对值三角不等式的其他应用

【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|>a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.

解析：由|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,