[核心必知]
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则
(a+a+a)(b+b+b)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn是实数,则
(a+a+...+a)(b+b+...+b)≥(a1b1+...+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,...,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,...,n)时,等号成立.
[问题思考]
1.在一般形式的柯西不等式的右端中,表达式写成ai·bi(i=1,2,3,...,n),可以吗?
提示:不可以,ai·bi的顺序要与左侧ai,bi的顺序一致.
2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,...,n),可以吗?
提示:不可以.若bi=0而ai≠0,则k不存在.