不等式证明二（综合法）

一、 综合法：

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。（也叫顺推证法或由因导果法）

　例1、已知a, b, c是不全相等的正数，

　　　求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

分析：不等式左边含有"a2+b2"的形式，我们可以运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的"和"，右边有三正数a,b,c的"积"，我们可以运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.

证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc

同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得，我们只要先把减了元的较简单的不等式证出，即可完成原不等式的证明。

例2、a , b, cR, 求证：1

　　　　　　　　　　　2

　　　　　　　　　　　3

证：1、法一：, , 两式相乘即得。

法二：左边

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9

　　2、∵

两式相乘即得