高手支招3综合探究

反函数的求导法则及其证明

如果函数x=φ(y)在某区间Iy内单调、可导且φ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在对应区间I={xx=φ(y),y∈Iy}内也可导且f′(x)=.

证明：由于x=φ(y)在区间Iy内单调、可导，x=φ(y)的反函数y=f(x)在对应区间I={xx=φ(y),y∈Iy}内也是单调的.

任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix).由y=f(x)的单调性可知：

Δy=f(x+Δx)-f(x)≠0，于是有：=.∵x=φ(y)可导，∴当Δy→0时，Δx→0.若Δx→0时，ΔyD→/0,则→∞,由=可知→0,这与φ′(y)≠0矛盾，∴Δx→0时，Δy→0.

从而：==，

上述结论可以简单地说成：反函数的导数等于原来函数导数的倒数.

高手支招4典例精析

【例1】求下列函数的导数.

（1）y=x4-3x2-5x+6；

（2）y=x·tanx;

（3）y=(x+1)(x+2)(x+3);

（4）y=.

思路分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不满足求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.

解：（1）y′=(x4-3x2-5x+6)′

=(x4)′-3(x2)′-5x′+(6)′=4x3-6x-5.

（2）y′=(x·tanx)′=()′=

=.

（3）解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′

=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)

=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)