f(x) ↗ 极大值f(0) ↘ 极小值f(a-1) ↗
从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
在(0,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.
当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
反思与感悟 含参数的函数求极值应从f′(x)=0的两根x1,x2相等与否入手进行.
跟踪训练2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为
y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知,
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
类型二 已知函数极值求参数
例3 (1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求a、b的值;
(2)若函数f(x)=x3-x2+ax-1有极值点,求a的取值范围.