(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.
解 (1)依题意:f′()=0,
因为f′(x)=-3x2+2ax,
所以-3×()2+2·a·=0,所以a=1.
(2)由(1)知:f(x)=-x3+x2+1,f′(x)=-3x2+2x,
令f′(x)=0⇒x1=0,x2=.
因为f(0)=1,f()=,f(2)=-3,
所以f(x)max=,f(x)min=-3.
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点:
(1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内;
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;
(3)比较极值与端点函数值大小,确定最值.
跟踪训练1 (1)函数f(x)=x2-cos x,x∈[-,]的值域是________.
答案 [-1,]
解析 f′(x)=2x+sin x,
令f′(x)=0,即2x+sin x=0得x=0,
f(0)=-cos 0=-1,f()=f(-)=,
∴f(x)的最大值为,f(x)的最小值为-1.
则f(x)的值域为[-1,].
(2)已知函数f(x)=x3-ax2+3x,若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]时的最值.
解 f′(x)=3x2-2ax+3,
由题意知f′(3)=0,即27-6a+3=0,解得a=5,
∴f′(x)=3x2-10x+3.
令f′(x)=0,即3x2-10x+3=0,