反证法的步骤:
(1)______________________________________________________;
(2)______________________________________________________;
(3)______________________________________________________;
反证法:(1)反设(即假设) p则q(原命题) 反设p且非q.
(2)可能出现三种情况:
①导出非p为真--与题设矛盾.
②导出q为真--与反设中"非q"矛盾.
③导出一个恒假命题--与公理、定理矛盾.
反设是反证法的基础,归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
二、例题精讲
例1 求证:正弦函数没有比2π小的正周期.
证明 假设T是正弦函数的周期,则对任意实数x都有:.
令x=0,得 即T=kπ,k∈Z,又0<T<2π,故T=π,
从而对任意实数x都有,这与≠矛盾.
所以正弦函数没有比2π小的周期.
例2 证明不是有理数.(课本例2).
例3 设,求证.
证明 假设,则有,从而
a3>8-12b+6b2-b3,
a3+b3 >6b2-12b+8=6(b-1)2+2,
因为 6(b-1)2+2 ≥2,
所以 a3+b3>2,这与题设条件a3+b3=2矛盾,
所以,原不等式成立.
注意: