,
所以,同理
又因为
所以平面,从而是平面的一个法向量.
变式1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,G、E、F分别为棱AA1、AB、BC的中点.
(1)求平面BB1D1D的一个法向量;
(2)求平面GEF的一个法向量.
解 (1)以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0)
∴\s\up10(→(→)=(-2,2,0),
∵AC⊥DD1,AC⊥BD,
∴AC⊥平面BB1D1D,
∴\s\up10(→(→)=(-2,2,0)是平面BB1D1D的一个法向量.
(2)设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,1),
∵G(2,0,1),E(2,1,0),F(1,2,0).
∴\s\up10(→(→)=(0,1,-1),\s\up10(→(→)=(-1,2,-1).
∵n⊥\s\up10(→(→),n⊥\s\up10(→(→),∴\s\up10(→(n·\o(GE,\s\up10(→)
∴∴∴n=(1,1,1).