数学归纳法 学案

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

2．应用数学归纳法时特别注意：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

(3)步骤②的证明必须以"假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立"为条件．

情境导学]

多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下...，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？

探究点一　数学归纳法的原理

思考1　多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？

答　(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．

所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．

思考2　对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？

答　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，

猜想an＝(n∈N*)．

以下为证明过程：

(1)当n＝1时，a1＝1＝，所以结论成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，