2019-2020学年北师大版选修2-2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2     基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三     学案第3页

(3)y=sin(πx+φ).

解 (1)函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2,u=2x+3的复合函数.

∴yx′=yu′·ux′=(u2)′·(2x+3)′=2u·2=4(2x+3)=8x+12.

(2)函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu和函数u=-0.05x+1的复合函数.

∴yx′=yu′·ux′=(eu)′·(-0.05x+1)′=-0.05eu=-0.05 e-0.05x+1.

(3)函数y=sin(πx+φ)可以看成函数y=sin u,u=πx+φ的复合函数.

∴yx′=yu′·ux′=(sin u)′·(πx+φ)′=cos u·π

=π cos(πx+φ).

探究点三 导数的应用

例3 求曲线y=e2x+1在点(-,1)处的切线方程.

解 ∵y′=e2x+1·(2x+1)′=2e2x+1,

∴y′|=2,

∴曲线y=e2x+1在点(-,1)处的切线方程为

y-1=2(x+),

即2x-y+2=0.

反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意"在某点处的切线"与"过某点的切线"两种不同的说法.

跟踪训练3 曲线y=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.

解 设u=sin x,则y′=(esin x)′=(eu)′(sin x)′.

=cos xesin x.

y′|x=0=1.

则切线方程为y-1=x-0,

即x-y+1=0.

若直线l与切线平行可设直线l的方程为x-y+c=0.

两平行线间的距离d==⇒c=3或c=-1.

故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.

1.函数y=(3x-2)2的导数为(  )