＝＝.

所以当n＝k＋1时，

不等式也成立．

由(1)、(2)可得不等式·*...·＝··*...·>对任意的n∈N*都成立．

反思与感悟　用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．

跟踪训练1　用数学归纳法证明＋＋＋...＋<1－(n≥2，n∈N*)．

证明　当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，

因为<，所以不等式成立．

假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，

即＋＋＋...＋<1－，

则当n＝k＋1时，

＋＋＋...＋＋<1－＋

＝1－＝1－<1－

＝1－，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．

题型二　利用数学归纳法证明整除问题

例2　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.

证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，

命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则

当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，