解析　(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且||=||=1,

所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且

即且t(t-2x0)=0.

由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,

于是t=2x0,故x0=,y0=-,

代入+=1,可得+=1,

即所求的曲线C的方程为+=1.

(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.

(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,

由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,

所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①

又由可得P;

同理可得Q.

由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=

|xP-xQ|,

可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||xP-xQ|

=·|m|·=.②

将①代入②得,S△OPQ==8.

当k2>时,S△OPQ=8·=8>8;

当0≤k2<时,S△OPQ=8·=8.

因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,

所以S△OPQ=8≥8,

当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.

综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.

4.(2018广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

解析　(1)由题意知c=,e==,

∴a=3,b2=a2-c2=4,

故椭圆C的标准方程为+=1.

(2)设两切线为l1,l2,

①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).

②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),

与+=1联立,

整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,

∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,

∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,

∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,

同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,

∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,

∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).

检验P(±3,±2)满足上式.