考点　利用函数单调性求变量

题点　已知函数单调性求参数

解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，

因为f(x)在R上是增函数，

所以f′(x)≥0在R上恒成立．

即3x2－a≥0在R上恒成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．

所以a的取值范围是(－∞，0]．

(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，

则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．

即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，

又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.

当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意．

所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．

类型三　函数的极值、最值与导数

例3　已知函数f(x)＝x2＋aln x.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

考点　导数的综合应用

题点　导数的综合应用

(1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，