数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

　　（二）研探新知

　　1.辗转相除法

　　例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

　　（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）

　　解：8251＝6105×1＋2146[ ]

　　显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

　　6105＝2146×2＋1813

　　2146＝1813×1＋333

　　1813＝333×5＋148

　　333＝148×2＋37

　　148＝37×4＋0

　　则37为8251与6105的最大公约数。

　　以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

　　第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；

　　第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；

　　第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；

　　......

　　依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。

　　练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）

　　2.更相减损术

　　我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

　　更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译出来为：