6 如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H

　　(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由

　　(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明

　　7 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

　　(1)若M为AB中点，求证 BB1∥平面EFM；

　　(2)求证 EF⊥BC；

　　(3)求二面角A1-B1D-C1的大小

参考答案

1 解析 如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H= 答案 C

2 解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角 C

3 解析 ①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 ②③

4 ④

5 证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

　　∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD

　　(2)取CD中点G，连EG、FG，

　　∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

　　∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

　　(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

　　证明 G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

　　由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

　　又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

6 (1)证明∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD

∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

　　∵A-BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，

　　∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

　　∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形

　　(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH，