＝(－2,0,0)，\s\up6(→(→)＝(0,1，－2)，\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0＋0＋0＝0，所以D1F⊥AD.又\s\up6(→(→)＝(0,2,1)，所以\s\up6(→(→)、\s\up6(→(→)＝0＋2－2＝0，所以D1F⊥AE.又AD∩AE＝A，所以D1F⊥平面ADE.

　　【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．

　　已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．

　　证明 设O为坐标原点，依题意 =（-2，3，1），=（2，-5，3），

　　∴= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).

　　同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).

　　由 =， =，可知∥，∥，

　　所以四边形ABCD是平行四边形.

知识点三 向量坐标的应用

　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．

　　(1)求证：B1O3⊥PA；

　　(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；

　　(3)求PO2的长．

　　(1)证明 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

　　则B1(1,1,1)，O3( ， ,0)，P(0,0，)，A(1,0,0)，

　　＝(－，－，－1)，\s\up6(→(→)＝(－，－，－1)，\s\up6(→(→)＝(1,0，－)，

　　∴·\s\up6(→(→)＝－＋0＋＝0，

　　即 ⊥\s\up6(→(→)

　　∴B1O3⊥PA.

　　(2)解 ∵O1(，，1)，O2(，1，)，

　　则 =（0，，）.

又∵ =（ ，，），