相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)

　　＝π(a＋b＋c)，

　　得≥，①

　　又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，

　　有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)

　　＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)

　　＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)

　　＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．

　　得＜.②

　　由①、②得原不等式成立．

　　　利用柯西不等式或排序不等式求最值[学生用书P51]

　　有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．

　　在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略．

　　　(1)已知实数x，y，z满足x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值．

　　(2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求M＝a1＋＋＋＋的最小值．

　　【解】　(1)因为(x＋2y＋3z)2

　　＝(x·1＋y·＋z·)2

　　≤[x2＋(y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]

　　＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.

　　当且仅当＝＝，

　　即x＝y＝z时，等号成立．

　　所以－3≤x＋2y＋3z≤3，

　　即u的最小值为－3，最大值为3.

　　(2)设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.

　　因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.

　　又1≥≥≥≥.

　　由排序不等式，得

　　a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋≥1×1＋2×＋3×＋4×＋5×＝1＋＋＋＋＝.即M的最小值为.

　　　1.设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，求a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值．

解：由柯西不等式，得：(a＋a＋a)(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，于a＋a＋a≥.