3.求平面π外一点A到平面π的距离d,利用平面π外的一点A与平面π内异于A点的投影的任一点P,找出斜线段PA所在的向量在平面法向量上的投影就是所求点A到平面π的距离d.

名师解惑

1.如何求点到直线的距离?

剖析:求点A到直线l的距离d,当A∈l时,d=0;当Al时,设l是过点P平行于向量s的直线,设AA′⊥l,A′为垂足,则点A到直线l的距离d等于.

2.如何求点到平面的距离?

剖析:求点A到平面π的距离d,当A∈π时,d=0;当Aπ时,设π是过点P垂直于向量n的平面,设AA′⊥π,垂足为A′,则点A到平面π的距离d等于向量在平面π的法向量n上的投影的大小｜·n0｜,即d=｜·n0｜.

讲练互动

【例1】如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=2,BC=3,AA′=4,求点B到直线A′C的距离.

解析:用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离d.

答案:因为AB=2,BC=3,AA′=4,

所以B(2,0,0),C(2,3,0),A′(0,0,4).

(1)计算直线CA′的方向向量=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4);

(2)在直线CA′上找到一点C(2,3,0);

(3)=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0);

(4)求在上的投影:

·=(0,-3,0)·

=(0,-3,0)·

=0×+(-3)×+0×;

(5)求点B到直线A′C的距离为