类型一 常见推论的证明

例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

考点 基本不等式的理解

题点 基本不等式的理解

证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

引申探究

证明不等式2≤(a，b∈R)．

证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，

两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．

反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法．

跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

考点 基本不等式的理解

题点 基本不等式的理解

证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，

∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

类型二 用基本不等式证明不等式

例2 已知x，y都是正数．

求证：(1)＋≥2；

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

考点 基本不等式证明不等式

题点 运用基本不等式证明不等式

证明 (1)∵x，y都是正数，