故所求双曲线的方程为=1.

【例2】如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

解析：利用正弦定理把2sinA+sinC=2sinB转化为边的关系,从而构造出符合双曲线定义的动点A,利用待定系数法求方程.

解：如图,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).

由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=.

因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=.从而有|CA|-|CB|=|AB|=2

由双曲线的定义知点C的轨迹为双曲线的右支.

因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6.

所以顶点C的轨迹方程为=1(x>).

绿色通道

条件中给出了角的关系,根据正弦定理,将角的关系转化为边的关系.由于A,B可视为定点,且|AB|=4,从而可考虑用定义法求轨迹方程.同时要注意:(1)应先建立适当坐标系.

(2)注意C点满足的条件:C不能与A,B共线,否则构不成三角形,并且CA>CB,故所求轨迹只是双曲线的右支,在方程中应标出x的范围.

变式训练

2.在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),求满足sinC-sinB=sinA时,顶点A的轨迹方程.

解:设A(x,y),由sinC-sinB=sinA,得|AB|-|AC|=|BC|=1<|BC|,故A点在以B,C为焦点的双曲线的右支上,而a=,c=1,所以b2=c2-a2=,故所求顶点A的轨迹方程为(x>).