复数的概念

　　[问题展示]　（教材P116复习参考题A组T2）已知复数z与（z＋2）2－8i都是纯虚数，求z.

　　【解】　因为z是纯虚数，

　　所以设z＝bi（b≠0，b∈R）.

　　则（z＋2）2－8i

　　＝（2＋bi）2－8i

　　＝4＋4bi＋b2i2－8i

　　＝（4－b2）＋（4b－8）i

　　因为（z＋2）2－8i也是纯虚数，

　　所以

　　所以b＝－2.

　　所以z＝－2i.

　　复数z满足（z＋2）2＝－8i，求复数z.

　　【解】　设z＝x＋yi，x，y∈R，

　　所以（x＋yi＋2）2＝－8i，

　　即（x＋2）2－y2＋2（x＋2）yi＝－8i，

　　所以

　　解得或

　　所以z＝－2i或z＝－4＋2i.

　　复数z满足（z＋2）2－8i是纯虚数.求|z|的最小值.

　　【解】　设z＝x＋yi（x，y∈R），

　　则（z＋2）2－8i

　　＝（x＋2＋yi）2－8i＝（x＋2）2－y2＋[2（x＋2）y－8]i.

　　因为（z＋2）2－8i是纯虚数，

　　所以

　　由①得，y2＝（x＋2）2，

　　所以|z|2＝x2＋y2＝x2＋（x＋2）2＝2x2＋4x＋4

　　＝2（x＋1）2＋2.

所以当x＝－1，y＝±1时，满足②式，