2019-2020学年人教A版必修二 直线、平面平行的判定及其性质 学案

典例精析

题型一　面面平行的判定

【例1】 如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.

(1)求证：平面MNG∥平面ACD；

(2)若△ACD是边长为2的正三角形，判断△MNG的形状并求△MGN的面积.

【解析】(1)证明：连接BM、BN、BG并延长分别交AC、AD、CD于E、F、H三点.

因为M为△ABC的重心，N为△BAD的重心，

所以＝＝2.

所以MN∥EF，同理MG∥HE.

因为MN⊄平面ACD，MG⊄平面ACD，

所以MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，

因为MN∩MG＝M，所以平面MNG∥平面ACD.

(2)由(1)知，平面MNG∥平面ACD，

＝＝2，所以＝＝，

因为EH＝AD，EF＝CD，所以＝＝，所以＝＝＝，

又△ACD为正三角形. 所以△MNG为等边三角形，且边长为×2＝，

面积S＝×＝.

【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行.

【变式训练1】如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，且它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE∶EB＝____________.

【解析】.设AE＝a，EB＝b，

由EF∥AC，得EF＝，同理EH＝.

EF＝EH，所以＝⇒＝.

题型二　线面平行的判定

【例2】 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN.求证：MN∥平面BCE.

【证明】方法一：如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连