5－y0＝2x0(3－x0)，①

再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②

联立①，②得，x0＝1或x0＝5.

从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

当切点为(1,1)时，

切线的斜率为k1＝2x0＝2，

此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，

当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，

此时切线方程为y－25＝10(x－5)，

即y＝10x－25.

综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.

小结　(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．

跟踪训练1　已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．

解　y′＝

＝

＝ (4x＋2Δx)＝4x.

(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，

∴切点坐标为(1，－5)．

即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.

(2)由于点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，

得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．

解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.

跟踪训练2　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

解　∵y＝x3＋3ax.