曲线与方程 教案

　　1．已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．

　　(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

　　(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A，B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.

　　解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.

　　(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

　　由得x2－8kx－16＝0.

　　所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

　　抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.

　　所以过抛物线上A，B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1·k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

　　所以AQ⊥BQ.

　　考点三　代入法求轨迹方程|

　　　在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．

　　(1)当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；

　　(2)若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．

　　[解]　(1)设M(x，y)，则P(x,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4，即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.

　　(2)当直线PN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝2或x＝－2.显然与轨迹E相切．

当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y＝kx＋t(k≠0)．