2019-2020学年苏教版选修2-2 简单复合函数的求导法则 教案

　　【例1】　指出下列函数是怎样复合而成的．

　　(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.

　　思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．

　　[解]　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．

　　(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．

　　(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．

　　判断复合函数的方法

　　判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．

　　1．指出下列函数由哪些函数复合而成．

　　(1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)．

　　[解]　(1)y＝ln u，u＝.

　　(2)y＝eu，u＝sin x.

　　(3)y＝cos u，u＝x＋1．

求复合函数的导数 　　【例2】　求下列函数的导数．

　　(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；

　　(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.

　　思路探究：先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．

　　[解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

　　∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．

　　(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4