f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.

　　(3)特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．

判断函数的单调性 　　

　　[例1]　求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．

　　[思路点拨]　根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f′(x)在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．

　　[精解详析]　由于f(x)＝ex－x－1，

　　所以f′(x)＝ex－1，

　　当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0.

　　故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，

　　当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0.

　　故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．

　　[一点通]　利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．

　　1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

　　A．y＝sin2x　　　　　　　　 B．y＝xex

　　C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln (1＋x)

　　解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.

　　答案：B

　　2．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．

　　证明：f′(x)＝1＋cos x，

　　∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，

　　当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.

　　∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．

3．讨论函数f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．