我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=.

再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.

在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|==.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=.

于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

应用示例

例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.

解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得

x==2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3).

根据两点间距离公式,得

d(A,B)=,

所以AB的长度为.

(2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等,

所以有下面等式：

化简得4x+6y-8z+7=0,

因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.

点评:通过本题我们可以得出以下两点：

①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.