考点　圆的方程

1.(2018江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　.

答案　[-5,1]

2.(2018课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　　　　　　　.

答案　+y2=

3.(2018陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.

答案　x2+(y-1)2=1

4.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明:坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.

解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.

由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.

又x1=,x2=,故x1x2==4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.

故坐标原点O在圆M上.

(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.

故圆心M的坐标为(m2+2,m),

圆M的半径r=.

由于圆M过点P(4,-2),因此 ·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,

即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.

由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.

所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.

当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.

当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.

5.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.

解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,

所以0

于是圆N的半径为y0,

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离

d==.

因为BC=OA==2,而MC2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.