二一般形式的柯西不等式

名称 形式 等号成立条件 三维形式的柯西不等式　　 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 一般形式的柯西不等式　　 设a1，a2，a3，...，an，b1，b2，b3，...，bn是实数，则(a＋a＋...＋a)·(b＋b＋...＋b)≥(a1b1＋a2b2＋...＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，...，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，...，n) 　　[点睛]　一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

利用柯西不等式证明不等式 　　[例1]　设x1，x2，...，xn都是正数，求证：＋＋...＋≥.

　　[思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

　　[证明]　∵(x1＋x2＋...＋xn)

　　＝[(1)2＋()2＋...＋()2]·≥

　　2＝n2，

　　∴＋＋...＋≥.

　　柯西不等式的结构特征可以记为：

　　(a1＋a2＋...＋an)·(b1＋b2＋...＋bn)≥(＋

　　＋...＋)2.

其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，...，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等