3．向量法证明正弦、余弦定理

如图，在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边长分别是a，b，c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点C的坐标是(b,0)．由三角函数的定义，得点B的坐标是(ccos A，csin A)．

所以＝(ccos A－b，csin A)．

现将平移到起点为原点A，终点为点D，则＝，且||＝||＝a，∠DAC＝180°－∠C.

根据三角函数的定义，知点D的坐标是(－acos C，asin C)．

所以＝(－acos C，asin C)．

因为＝，所以(－acos C，asin C)＝(ccos A－b，csin A)．

所以

由①，得＝.

同理可证＝.

所以＝＝.

由②，得acos C＝b－ccos A.

两边平方，得a2cos2C＝b2－2bccos A＋c2cos2A.

所以a2－a2sin2C＝b2－2bccos A＋c2－c2sin2A.

而由①，得a2sin2C＝c2sin2A.

所以a2＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.

2　正弦定理的一个推论及应用

在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系怎样？那么近乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若A>B，则sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．

一、结论

在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B.