§3.2.4　　坐标法中解方程组求向量的有关问题

【学情分析】：

　　教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。

【教学目标】：

（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.

【教学难点】：解方程组求向量的的坐标..

【课前准备】：Powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入

1． 单位向量，平面的法向量

（1）单位向量－－模为1的向量。

（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。

2． 坐标法。 为探索新知识做准备. 二、探究与练习

一、用空间向量解决立体几何问题的"三步曲"

　　学生回顾用平面向量解决平面几何问题的"三步曲"，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的"三步曲"：

　（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

　（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

　（3）把向量的运算结果"翻译"成相应的几何意义。（回到图形问题）

二、例题

　　例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.

　　分析：（1）建立空间坐标系；

　　 （2）用坐标表示向量

　　 （3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系

　　列方程组求x,y,z.

　　 （4）证明向量n//

（解略）

　　思考：有更简单的方法吗？

　　向量 与、的数量积为零即可。

例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦。

　　分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。

　　解：以 A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。

　　设平面

　　分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。

探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？

――求每个力向上的分力。 让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1在建立坐标系后，比较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。

由学生回答本例的简便解法。

例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。

取y＝2，因为只要向量的方向。

例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。

帮助学生理解如何建立坐标系。

单位向量的模为1。

开拓学生思维。