M (0,1，)，N (,1,1)，

　　D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，

　　于是 =（，0，），

　　设平面A1BD的法向量是

　　n=（x，y，z）.

　　n＝(x，y，z)．

　　则n·＝0，得

　　取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．

　　又 ·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，

　　方法二 ∵ =

　　∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.

　　∴MN∥平面A1BD.

知识点三 利用向量方法证明垂直问题

　　　在正棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.

　　(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；

　　(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．

　　证明　(1)方法一　

　　如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

　　令PA＝PB＝PC＝3，则

　　A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．

　　于是＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，

　　故 ＝3，∴PA∥FG.

而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，