类型一　求切线方程

例1　已知曲线y＝x2，

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．

解　(1)设切点为(x0，y0)，

∵y′|x＝x0＝

＝ ＝2x0，

∴y′|x＝1＝2.

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为

y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，

由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，

∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

由P(3,5)在所求直线上得

5－y0＝2x0(3－x0)，①

再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②

联立①，②得，x0＝1或x0＝5.

从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

当切点为(1,1)时，

切线的斜率为k1＝2x0＝2，

此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，

当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，

此时切线方程为y－25＝10(x－5)，

即10x－y－25＝0.

综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.

反思与感悟　1.求曲线在某点处的切线方程的步骤