函数的综合应用

【考点精讲】

　1. 复合函数y＝单调性的确定：

　　当a＞1时，y的单调区间与f（x）的单调区间一致；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是y的单调减区间；f（x）的单调减区间是y的单调增区间。

　　例如：与的单调增减区间就是不同的。

　　的增区间是，减区间是。

　　的增区间是，减区间是。

　2. 对于y＝值域问题，应分以下两步求解：

　　①由定义域求出u＝f（x）的值域；

　　②利用指数函数y＝的单调性求得此函数的值域。

【典例精析】

　　例题1 求下列函数的值域。

　　（1）y＝ax（a＞1）；

　　（2）f（x）＝x2＋2x＋2（x＞0）；

　　（3）f（x）＝（ax）2＋2ax＋2（a＞0，且a≠1）。

　　思路导航：一个函数的解析式中若含有指数式，即这个指数式为中间变量，这类题通常的解法是用换元法作变量替换。如y＝4x＋1，设4x＝t，则y＝t＋1，容易出错和忽略的是t的范围应该是4x的值域，而不是t∈R，应该是t＞0。此题（3）的解题关键是设ax＝t（t＞0），换元后变为f（t）＝t2＋2t＋2，转化成求二次函数的值域。

　　答案：（1）y＝ax（a＞1）的值域为（0，＋∞）；

　　（2）＝x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1，对称轴为x＝－1。

　　函数在（0，＋∞）上为增函数，x＝0时，min＝2（此处取不到）。

　　∴＝x2＋2x＋2（）的值域为（2，＋∞）。

　　（3）设ax＝t（t＞0），换元后变为

　　f（t）＝t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1，f（t）＞2，

　　∴f（x）＝（ax）2＋2ax＋2（）的值域为（2，＋∞）。

　　点评：通过换元将f（x）＝（ax）2＋2ax＋2化为二次函数的形式再求二次函数在（0，＋∞）上的值域，问题便得到解决。

　　例题2 讨论函数f（x）＝的单调性，并求其值域。

思路导航：涉及复合函数的单调性问题，首先要弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，它们的单调性如何，根据"同增异减"来判断复合函数的单调性。此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以通过逐层讨论它的单调性，综合得结果。