2018-2019学年北师大版选修4-5 绝对值不等式 学案
2018-2019学年北师大版选修4-5  绝对值不等式   学案第3页

  (2)求a的值,使函数f(x)有最大值.

  【解】 (1)因为|x|≤1,|a|≤1,

  所以|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|

  =|a||x2-1|+|x|≤|x2-1|+|x|

  =1-|x2|+|x|

  =-|x|2+|x|+1

  =-+≤.

  所以|x|=时,|f(x)|取得最大值.

  (2)当a=0时,f(x)=x;

  当-1≤x≤1时,f(x)的最大值为f(1)=1,

  不满足题设条件,所以a≠0.

  又f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1,

  故f(±1)均不是最大值.

  所以f(x)的最大值应在其对称轴上顶点位置取得,

  所以a<0.

  所以命题等价于

  ⇒⇒

  所以a=-2.

  

  本题第(1)问属于绝对值函数的最值,综合性强,不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件,这是关键所在. 

   设函数y=|x-4|+|x-3|.求

  (1)y的最小值;

  (2)使y<a有解的a的取值范围;

  (3)使y≥a恒成立的a的最大值.

  解:(1)由绝对值三角不等式得y=|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,

  所以ymin=1.

  (2)由(1)知y≥1.

  要使y<a有解,

  所以a>1.

  即a的取值范围为(1,+∞).

  (3)要使y≥a恒成立,只要y的最小值1≥a,即可.

  所以amax=1.

  

  

1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用求|a+b|,|a-b|的最值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的转化