题型1 几何法求直线和平面的夹角

【例1】 如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值

　解析 作出B1点在平面A1BCD1上的射C影,从而得到B1D1在平面上的射影.又因为平面

A1B1D⊥面A1BCD1,故只要过B1作A1B的垂线,垂足就是B1的射影.

　答案 作B1E⊥A1B,又因为A1D1⊥平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E.

　　由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得知B1E⊥面A1BCD1,所以,D1E就是D1B1在平面A1BCD1上的射影,从而∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角.

在Rt△B1D1E中,有sin∠B1D1E=上的射影.

但D1B1===5,又=A1B1·EB1=A1B1·BB1,A1B==,

∴EB1==,∴sin∠B1D1E==.

方法指导 如果随意地在直线B1D1上取一点,然后过这一点向平面A1BCD1作垂线,虽然也可以找出直线B1D1和平面A1BCD1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此"作、证、求"三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.

【变式训练1】 已知直角三角形ABC的斜边BC在平面a内,直角边AB,AC分别和a成30°和45°角.求斜边BC上的高AD与平面a所成角的大小.

答案 如下图,作AO⊥a,O为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO分别为AB,AC,AD与a所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.