绿色通道:在实际生活中，滑轮是一种重要的省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上的点转过的弧长与跟它连接的绳索上的点移动的距离是相等的，在分析中要注意图形的作用，数形结合是解决此类问题的有效办法.

变式训练 如图1-1-5所示，已知单位圆上一点A(1，0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过弧度数是θ(0＜θ≤π)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，则θ的弧度数是___________________.

图1-1-5

思路解析:因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜，即＜θ＜.由14θ=2kπ(k∈Z)，可得θ=(k∈Z)，所以＜＜，即＜k＜.所以k=4或5，则θ=或.

答案:或

例3 已知扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积取最大值？

思路分析:本题考查扇形面积公式、最值等知识，以及分析问题和解决问题的能力.建立周长与圆心角、半径、弧长、面积之间的关系，转化为求二次函数的最值.

解:设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的面积为S.

由题意，得l+2r=20，则l=20-2r.由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr.

∴＜r＜10.∴S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25(＜r＜10).

∴当r=5时，S取最大值25，此时l=10，α==2,

即当扇形的圆心角为2时，扇形的面积取最大值25.

绿色通道:当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积表示为半径的二次函数，转化为求二次函数的最值.但要注意扇形的弧长和半径的取值范围.

变式训练 已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？

思路分析:把周长表示为半径的函数，利用函数的单调性求最值.

解:设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的周长为y，则y=l+2r.

由题意,得lr=25，则l=.∴y=+2r(r＞0).

利用函数单调性的定义可以证明：当0＜r≤5时，函数y=+2r是减函数；当r＞5时，

函数y=+2r是增函数.∴当r=5时，y取最小值20，此时l=10，α==2.

故当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值20.

问题探究