f(π)=π-.
∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;
当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
反思与感悟 (1)求函数的最值,求极值是关键的一环.若仅是求最值,则简化为:
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大值、最小值在端点处取得.
跟踪训练1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-4x+4,x∈[0,3];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
解 (1)∵f(x)=x3-4x+4,
∴f′(x)=x2-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
∵f(2)=-,f(0)=4,f(3)=1,
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4,最小值为-.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;
x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解 (1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.