类型一 用数学归纳法证明等式

例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋...＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.

考点 用数学归纳法证明等式

题点 利用数学归纳法证明等式

证明 (1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

即1×4＋2×7＋3×10＋...＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

1×4＋2×7＋3×10＋...＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]

＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]

＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，

即当n＝k＋1时等式也成立．

根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立．

反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．

跟踪训练1 求证：1－2(1)＋3(1)－4(1)＋...＋2n－1(1)－2n(1)＝n＋1(1)＋n＋2(1)＋...＋2n(1)(n∈N*)．

考点 用数学归纳法证明等式

题点 利用数学归纳法证明等式

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－2(1)＝2(1)，

右边＝1＋1(1)＝2(1)，左边＝右边．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

即1－2(1)＋3(1)－4(1)＋...＋2k－1(1)－2k(1)

＝k＋1(1)＋k＋2(1)＋...＋2k(1)，

则当n＝k＋1时，