第18课　抛物线的标准方程与几何性质

　　　基础诊断　

　　1. y2＝28x　解析：由题意可知抛物线的准线方程为x＝－7，即－＝－7，则p＝14.又因为该抛物线顶点为坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝28x.

　　2. y2＝8x或x2＝－8y　解析：若抛物线关于y轴对称，则令该抛物线焦点为，代入直线x－y＝2得－＝2，解得p＝－4，故此时抛物线的方程是x2＝－8y；若抛物线关于x轴对称，则令该抛物线焦点为，代入直线x－y＝2得＝2，解得p＝4，故此时抛物线的方程是y2＝8x.综上，该抛物线方程为y2＝8x或x2＝－8y.

　　3. 　解析：因为抛物线y2＝8x上两点M，N到焦点F的距离分别是d1，d2，且d1＋d2＝5，所以点M，N到准线的距离和为5，因为抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，所以线段MN的中点P到y轴的距离为－2＝.

　　4. 　解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，故双曲线x2－y2＝a2的右焦点为(1，0)，即2a2＝1，且a>0，故a＝.

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　　例1　解析：(1) 将(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，

　　故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

　　(2) 直线OA的方程为y＝－2x.

　　设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

　　由得y2＋2y－2t＝0.

　　因为直线l与抛物线C有公共点，

　　所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

　　另一方面，由直线OA与l的距离d＝，

　　可得＝，解得t＝1或t＝－1(舍去)，

　　所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.