∴h＝.

又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，

V′(r)＝，

令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，

∵V′(r)只有一个极值点，

∴当h＝2r时圆柱的容积最小．

又r＝，∴h＝2＝.

即当圆柱的容积V最小时，

圆柱的高h为.

类型二　实际生活中的最值问题

命题角度1　利润最大问题

例2　某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)

考点　函数类型的优化问题

题点　利用导数求解最大利润问题

解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当00；当2