第二课时 导数在函数中的应用

【学习目标】

1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；

2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

【高考要求】B级

【自主学习】1． 函数的单调性

⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）

(2) 如果在某个区间内恒有，则 .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.

(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

① 确定函数的 ；

② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；

④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.

2．可导函数的极值

⑴ 极值的概念：设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤：

① 求导数；

② 求方程＝0的 ；