【例1】一运动物体的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为s(t)=t2+t.求s′(0),s′(2),s′(5),并说明它们的意义.

解析:先求出s(t)的导函数,然后令t=2求s′(2).

解:首先,给自变量t一个改变量Δt,得到相应函数值的改变量Δs=s(t+Δt)-s(t)

=(t+Δt)2+(t+Δt)-(t2+t)

=(Δt)2+2t·Δt+Δt,

再计算相应的平均变化率为

=Δt+2t+1.

当Δt趋于0时,可以得出导函数为

s′(t)=

=(Δt+2t+1)=2t+1.

因此,s′(0)=2×0+1=1,它表示物体的初速度为1 m/s;

s′(2)=2×2+1=5,它表示物体在第2秒时的瞬时速度为5 m/s;

s′(5)=2×5+1=11,它表示物体在第5秒时的瞬时速度为11 m/s.

绿色通道

本题揭示了求一个函数导函数的方法与步骤,并且体现了f′(x)与f′(x0)的关系,即f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0时的函数值.

变式训练

1.求函数y=的图像上点(2,)处的切线方程.

解析:利用k=f′(2)求出切线的斜率,然后由点斜式求切线方程,这里利用导数公式表中的公式可以更快速地求出f′(x),进而求f′(2).

解:由导数公式表,得y′=f′(x)=.

∴f′(2)=.

由点斜式得切线方程为y=(x-2),即x+4y-4=0.

【例2】求下列函数的导数:

(1)y=x12;(2)y=x;(3)y=;(4)y=.

解析:本题的函数都可化归为y=xn的类型,然后利用导数公式表直接求解.

解:由导数公式表,得

(1)y′=12x12-1=12x11.

(2)∵y=x=,∴y′==.

(3)∵y=x-4,∴y′=-4x-5=.